AB·AC/AL+AC·AB/AK=AB+BC+AC
评释：设△ABC内接圆半径为 r，过I作ID⊥AB于D，IE⊥AC于E，则有ID=IE=r。
AB·AC/AL+AC·AB/AK
=AB·AC(1/AK+1/AL)
=AB·AC(AK+AL)/(AK·AL)
=AB·ACsinA(AK+AL)/(AK·ALsinA)
=S△ABC·(AK+AL)/(S△AKL)
=2S△ABC·(AK+AL)/(AK·r+AL·r)
=2S△ABC/r
=AB+BC+AC
底下看沿路和以上论断忖度的IMO试题。如下图RT△ABC中，AD是斜边上的高，聚首△ABD与△ADC内心的直线辩认与AB、AC交于K、L，记△ABC与△AKL的面积辩认为S、T，求证S≥2T。
评释：设KL与AD交于E点，凭证上述论断可得：AB·AD(1/AK+1/AE)=AB+AD+BD即1/AK+1/AE=1/AB+1/AD+BD/(AB·AD)
同理可得：
1/AE+1/AL=1/AD+1/AC+DC/(AC·AD)
易得△ADB∽△CAB，△ADC∽△BAC，是以AC/AD=AB/DB⇒1/AC=BD/(AB·AD)同理AB/AD=AC/DC⇒1/AB=DC/(AC·AD)
是以1/AK+1/AE=1/AE+1/AL，AK=AL。是以∠AKO=∠ALP=45°。
聚首AO、OD，因为O为内心，是以∠KAO=∠DAO，∠ADO=90°/2=45°，又因为AO为专家边，是以△AKO≌△ADO是以AK=AD。
是以S/T=AB·AC/(AK·AL)
=AB/AD·AC/AD
=1/sinB·1/sinC
=1/sinBcosB(角B角C互余)
=2/sin(2B)≥2，当2B=90°，即B=45°时，等式修复。
此题的另一个论断是1/AB+1/AC=1/AE。1/AK+1/AE=1/AB+1/AD+BD/(AB·AD)，AD=AK，BD/(AB·AD)=1/AC。这三个等式前面已证，化简这三个等式即可得出：1/AB+1/AC=1/AE。